Полная и приведенная система вычетов примеры. Вычеты. Полная и приведенная системы вычетов. Количественная оценка и периодичность возникновения и применения налоговых вычетов
В частности, будем иметь (p a) = p a - p a-1 , (p) = p-1.
Примеры. (60) = 60
(81) = 81-27 = 54
Мультипликативная функция
Функция (а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:
Эта функция определена для всех целых положительных a и не равна нулю по меньшей мере при одном таком a.
Для любых положительных взаимно простых a 1 и a 2 имеем:
(а 1 a 2) = (а 1) (а 2) .
Основные понятия теории сравнений
Свойства сравнений
Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое положительное m, которое назовём модулем.
Каждому целому числу отвечает определённый остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m.
Сравнимость чисел a и b по модулю m записывается:
Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:
Возможности представить a в виде a = b + mt, где t - целое.
Делимости a b на m.
Действительно, из a b (mod m) следует
a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r откуда a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1 . Обратно, из a = b + mt, представляя b в виде b = mq 1 + r , 0 <=r выводим a = mq + r, q = q 1 + t , т.е. a b (mod m). Оба утверждения доказаны. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собой. Сравнения можно почленно складывать. Действительно, пусть A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1). Тогда a 1 = b 1 + mt 1 , a 2 = b 2 + mt 2 , …, a k = b k + mt k (2), Откуда a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), или a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m). Сравнения можно почленно перемножать. Рассмотрим (1) и (2). Перемножая почленно равенства (2), получим: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN, где N - целое. Отсюда: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m). Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число. Действительно, перемножив сравнение a b (mod m) с очевидным сравнением k k (mod m), получим ak bk (mod m). Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем. Действительно, из a b (mod m), a = a 1 d , b = b 1 d , (d, m) = 1 следует, что разность a - b, равная (a 1 - b 1)d, делится на m, т. е. a 1 b 1 (mod m) . Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq + r заставим q пробегать все целые числа. Соответственно m различным значениям r имеем m классов чисел по модулю m. Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q = 0, равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, ..., m-1 или также абсолютно наименьшие вычеты. Последние, как это следует из вышеизложенного, в случае нечетного m представляются рядом 1, 0, 1, ..., а в случае чётного m каким-либо из двух рядов 1, 0, 1, ..., 1, 0, 1, ..., . Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю. Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, а так как их m, т.е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу. Если (a, m) = 1 и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax + b, где b - любое целое, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m. Действительно, чисел ax +b будет столько же, сколько и чисел x, т.е. m. Согласно предыдущему утверждению остаётся, следовательно, только показать, что любые два числа ax 1 + b и ax 2 + b, отвечающие несравнимым x 1 и x 2 , будут сами несравнимы по модулю m. Но допустив, что ax 1 + b ax 2 + b (mod m), мы придём к сравнению ax 1 = ax 2 (mod m), откуда, вследствие (a, m) = 1, получим x 1 x 2 (mod m), что противоречит предположению о несравнимости чисел x 1 и x 2 . Числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем один и тот же общий наибольший делитель. Особенно важны классы, для которых этот делитель равен единице, т.е. классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв от каждого такого класса по одному вычету, получим приведённую систему вычетов по модулю m. Приведённую систему вычетов, следовательно, можно составить из чисел полной системы, взаимно простых с модулем. Обыкновенно приведённую систему вычетов выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, ..., m-1. Так как среди этих чисел число взаимно простых с m есть (m), то число чисел приведённой системы, равно как и число классов, содержащих числа, взаимно простые с модулем, есть (m). Пример. Приведённая система вычетов по модулю 42 будет 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Любые (m) чисел, попарно несравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведённую систему вычетов по модулю m. Действительно, будучи несравнимыми и взаимно простыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, содержащим числа, взаимно простые с модулем, а так как их (m), т.е. столько же, сколько и классов указанного вида, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу. Если (a, m) = 1 и x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то ax тоже пробегает приведённую систему вычетов по модулю m. Действительно, чисел ax будет столько же, сколько и чисел x, т.е. (m). Согласно предыдущему свойству остаётся, следовательно, только показать, что числа ax по модулю m несравнимы и взаимно просты с модулем. Первое следует из свойства сравнений (если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m) для чисел более общего вида ax + b, второе же следует из (a, m) = 1, (x, m) = 1. Теорема Эйлера (2. 5. 3. 1). При m>1 и (a, m) = 1 имеем a (m) 1 (mod m). Доказательство. Действительно, если x пробегает приведённую систему вычетов x = r 1 , r 2 , ..., r c ; c = (m), составленную из наименьших неотрицательных вычетов, то наименьшие неотрицательные вычеты 1 , 2 , ..., с чисел ax будут пробегать ту же систему, но расположенную, вообще говоря, в ином порядке (1). Перемножая почленно сравнения ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m), получим а с 1 (mod m). Теорема Ферма (2. 5. 3. 2). При p простом и а, не делящимся на p, имеем a p-1 1 (mod p). (2) Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Эйлера при m = p. Теореме Ферма можно придать более удобную форму, умножая обе части сравнения (2) на а, получим сравнение a p a (mod p), справедливое уже при всех целых а, так как оно верно и при а, кратном p. Теорема доказана. Теорема (2. 5. 3. 3). Если n = pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то (n) = (p-1)(q-1). Теорема (2. 5. 3. 4). Если n = pq, (p и q отличные друг от друга простые числа) и x простое относительно p и q, то x (n) = 1 (mod n). Кольцо вычетов по модулю
n
обозначают
или
. Его мультипликативную группу, как и в общем случае групп обратимых элементов
колец, обозначают
∗
×
×
. Чтобы понять структуру группы
, можно рассмотреть частный случай
, где
- простое число, и обобщить его. Рассмотрим простейший случай, когда
, то есть
. Теорема:
- циклическая группа.
Пример
: Рассмотрим группу Для рассмотрения общего случая необходимо определение примитивного корня
.
Примитивный корень по простому модулю
- это число, которое вместе со своим классом вычетов порождает группу
. В случае целого модуля
определение такое же. Структуру группы определяет следующая теорема: Если p - нечётное простое число и l - целое положительное, то существуют примитивные корни по модулю
, то есть
- циклическая группа. Приведённая система вычетов по модулю
состоит из
классов вычетов:
.
Относительно определённого для классов вычетов умножения они образуют группу, причём
и
взаимно обратны (то есть
⋅
),
а
и
обратны сами себе. Запись
означает «циклическая группа порядка n». На сложности, Ферма, Хули,
. Уоринг сформулировал теорему Вильсона, а Лагранж её доказал. Эйлер предположил существование примитивных корней по модулю простого числа. Гаусс это доказал. Артин выдвинул свою гипотезу
о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. Брауэр внес вклад в исследование проблемы существования наборов последовательных целых чисел, каждое из которых - k-ая степень по модулю p. Билхарц доказал аналог гипотезы Артина. Хули доказал гипотезу Артина с предположением справедливости расширенной гипотезы Римана в полях алгебраических чисел. Определение.
Числа образуют полную систему вычетов по модулю , если любое целое число сравнимо по модулю с одним и только одним из этих чисел. Любая полная система вычетов по модулю состоит из чисел, которые попарно не сравнимы по модулю . Теорема.
Пусть - полная система вычетов по модулю . Пусть - целое число, взаимно простое с . Тогда - тоже полная система вычетов по модулю . Доказательство.
Нужно доказать, что эти числа попарно не сравнимы по модулю . Предположим противное. Пусть Так как НОД , то , что противоречит условию. Теорема.
Пусть - полная система вычетов по модулю . Пусть - целое число. Тогда - тоже полная система вычетов по модулю . Лемма.
Если , то НОД НОД . Доказательство.
– целое число. Отсюда . Любой общий делитель и является делителем . Отсюда НОД НОД . Определение.
Числа образуют приведенную систему вычетов по модулю , если они взаимно просты с и любое целое число, взаимно простое с , сравнимо с одним и только одним из этих чисел по модулю . Пример.
Приведенная система вычетов по модулю 10: 1,3,7,9. Лемма.
Все приведенные системы вычетов по модулю состоят из одного и того же количества чисел, которое обозначается - функция Эйлера. Доказательство.
Действительно, пусть есть две приведенные системы вычетов по модулю , состоящие из разного количества чисел: Тогда так как числа образуют приведенную систему вычетов по модулю , то каждое из чисел сравнимо с одним и только одним из этих чисел. Поскольку , то, по принципу Дирихле, по крайней мере два числа из будут сравнимы с каким-то числом , а значит, будут сравнимы между собой по модулю . А это противоречит тому, что - приведенная система вычетов по модулю . Значит, . Докажем теперь, что . В самом деле, числа, меньшие и взаимно простые с , образуют приведенную систему вычетов по модулю . Это следует из леммы. Определение.
Функция Эйлера (или тотиент) обозначает количество чисел, меньших и взаимно простых с . Теорема.
Если - приведенная система вычетов по модулю и - число, взаимно простое с , то - тоже приведенная система вычетов по модулю . Если - простое, то . Лемма.
Если - простое, то . Доказательство.
Действительно, чисел, меньших простого и имеющих с ним общий делитель, всего . Лемма.
Пусть НОД . Тогда . Функция Эйлера мультипликативна. Доказательство.
Запишем все числа от 1 до следующим образом: Числа в каждой строке образуют полную систему вычетов по модулю . Значит, взаимно простых с среди них . При этом эти числа расположены по столбцам - друг под другом, поскольку в каждом столбце стоят числа, сравнимые по модулю . Числа в каждом столбце образуют полную систему вычетов по модулю . Действительно, -й столбец получается, если взять числа , образующие полную систему вычетов по модулю , умножить их на число , взаимно простое с , и прибавить к каждому из них . Таким образом, в каждом столбце ровно чисел, взаимно простых с . Так как число будет взаимно простым с тогда и только тогда, когда оно взаимно просто с и взаимно просто с , то количество чисел, взаимно простых с , равно . Теорема.
Пусть Каноническое разложение числа . Тогда Доказательство.
По лемме о мультипликативности функции Эйлера Пример.
Теорема (Эйлера).
Если и - взаимно простые числа, то Пусть - какая-нибудь приведенная система вычетов по модулю . . Тогда - тоже приведенная система вычетов по модулю . Следовательно, каждое из чисел первой последовательности сравнимо с одним из чисел второй последовательности по модулю , а каждое из чисел второй последовательности сравнимо с одним из чисел первой последовательности. Тогда Так как каждое из чисел взаимно просто с , то на них сравнение можно сократить: Следствие.
Пусть – целые числа, – натуральные. Если , , НОД , то . Доказательство.
Пусть . Так как , то – натуральное число. Тогда Значит,
. 88вопрос Гомотетию с центром O
и коэффициентом k
обозначают H k 0
Свойства преобразований гомотетии и подобия пространства аналогичны свойствам гомотетии и подобия плоскости, поэтому изучение первых следует начинать с повторения вторых. Подобие пространства с коэффициентом k
можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом. Учащиеся должны знать, что при подобном преобразовании пространства сохраняется величина угла (плоского и двугранного), параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости отображаются на параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости. Это означает, что при подобном преобразовании пространства образом любой фигуры является фигура, имеющая такую же форму, что и данная фигура, но отличающаяся от нее лишь «своими размерами». Задача 12.
Дан правильный тетраэдр РАВС
; точки Р
1 , А
1 , В
1 , С
1 - центры его граней (рис.14). Докажите, что тетраэдр Р
1 А
1 В
1 С
1 подобен тетраэдру РАВС
; найдите коэффициент этого подобия. Решение
. Пусть точки Н
и K
- середины ребер соответственно АВ
и ВС
тетраэдра РАВС
, точка А
1 - центр грани РВС
, точка Р
1 - центр грани АВС
(рис. 14). Это означает, что РА
1: А
1 K
= АР
1: Р
1 K
= 2: 1, А
1 K
: РK
= Р
1 K
: АK
= 1: 3, Аналогично можно доказать, что Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY" Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х Центральная симметрия Определение Точки A и A" называются симметричными относительно точки О, если точки A, A", O лежат на одной прямой и OX = OX". Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной Определение Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX" Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA" Поворот вокруг прямой Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол - углом поворота) Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой Преобразования плоскости
часть полной системы вычетов (См. Полная система вычетов), состоящая из чисел взаимно простых с модулем m.
П. с. в. содержит φ(m
) чисел [φ(m
) - число чисел, взаимно простых с m
и меньших m
]. Всякие φ(m
) чисел, не сравнимые по модулю m
и взаимно простые с ним, образуют П. с. в. по этому модулю. Физическая энциклопедия Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия Строительный словарь Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии Толковый словарь по почвоведению Большой энциклопедический политехнический словарь Финансовый словарь Словарь бизнес терминов Большая Советская энциклопедия Большой энциклопедический словарь Словарь синонимов Словарь синонимов Какова приведенная стоимость ключевой сферы компетенции?
Исходя из рассмотренного выше, мы можем сказать, что приведенная стоимость ключевой сферы компетенции рассчитывается перемножением всех показателей за определенное время с учетом затрат на привлечение Чистая приведенная стоимость (NPV)
Анализ приведенной стоимости (NPV) помогает посчитать, сколько работнику нужно вложить, чтобы через 30 лет получать достойную пенсию, но этот анализ бесполезен при оценке текущих инвестиций и проектов. Инвестиции необходимо оценивать в УЧЕТ УДЕРЖАНИЙ И ВЫЧЕТОВ ИЗ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ
В соответствии с законодательством из заработной платы работников производятся следующие удержания:– подоходный налог (государственный налог, объект обложения – заработную плата);– погашение задолженности по ранее 10.6. Учет удержаний и вычетов из заработной платы
Из заработной платы работников предприятия производятся определенные удержания, которые подразделяются следующим образом: обязательные удержания (налог на доходы физических лиц, удержания по исполнительным листам); <...> 4.1. Общие вопросы предоставления социальных налоговых вычетов
Социальные налоговые вычеты (ст.219 НК) так же, как и имущественный вычет на приобретение жилья, означают уменьшение налогооблагаемой базы на величину произведенных социальных расходов с учетом законодательно 4.3. Особенности предоставления образовательных вычетов
142) Какие расходы могут быть приняты к вычету на обучение? Каковы лимиты образовательных вычетов?К социальному налоговому вычету на образование принимаются: расходы в сумме, уплаченной налогоплательщиком в 3.4. Количественная оценка и периодичность возникновения и применения налоговых вычетов
3.4.1. НДС как потенциальный налоговый вычет
При исчислении НДС суммы налоговых вычетов определяются только в соответствии с данными регистров налогового учета – книг покупок. При 88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели
Структурными уравнениями называются уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений. В данном случае система имеет структурную форму.Структурная форма Статья 172.
Порядок применения налоговых вычетов
Комментарий к статье 172В тексте абз.1 п.2 комментируемой статьи отменено условие, предписывающее производить исчисления суммы налога исходя из балансовой стоимости имущества (с учетом его переоценок и амортизации, которые Статья 172. Порядок применения налоговых вычетов
1. Налоговые вычеты, предусмотренные статьей 171 настоящего Кодекса, производятся на основании счетов-фактур, выставленных продавцами при приобретении налогоплательщиком товаров (работ, услуг), имущественных прав, Статья 201. Порядок применения налоговых вычетов
1. Налоговые вычеты, предусмотренные пунктами 1 – 4 статьи 200 настоящего Кодекса, производятся на основании расчетных документов и счетов-фактур, выставленных продавцами при приобретении налогоплательщиком подакцизных В предыдущем пункте было отмечено, что отношение є
m
сравнимости по произвольному
модулю m
есть отношение эквивалентности на множестве целых
чисел. Это отношение эквивалентности индуцирует разбиение множества
целых чисел на классы эквивалентных между собой элементов, т.е. в
один класс объединяются числа, дающие при делении на m
одинаковые остатки. Число классов эквивалентности є
m
(знатоки скажут - "индекс
эквивалентности є
m
")
в точности равно m
. Определение.
Любое число из класса эквивалентности
є
m
будем называть
вычетом по модулю m
. Совокупность вычетов, взятых по одному
из каждого класса эквивалентности є
m
, называется полной системой вычетов по модулю
m
(в полной системе вычетов, таким образом, всего m
штук чисел). Непосредственно сами остатки при делении на m
называются наименьшими неотрицательными вычетами и, конечно,
образуют полную систему вычетов по модулю m
. Вычет
r
называется абсолютно наименьшим, если
пrп
наименьший среди модулей вычетов
данного класса. Пример
: Пусть m
= 5 . Тогда: 0, 1, 2, 3, 4 - наименьшие неотрицательные вычеты; 2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно наименьшие вычеты. Обе приведенные совокупности чисел образуют полные системы
вычетов по модулю 5
. Лемма 1.
1) Любые m
штук попарно не сравнимых по
модулю m
чисел образуют полную систему вычетов по модулю
m
. 2) Если а
и m
взаимно просты, а x
m
, то значения линейной
формы аx+b
, где b
- любое целое число, тоже
пробегают полную систему вычетов по модулю m
. Доказательство.
Утверждение 1) – очевидно. Докажем
утверждение 2). Чисел аx+b
ровно m
штук. Покажем, что
они между собой не сравнимы по модулю m
. Ну пусть для
некоторых различных x 1
и x 2
из полной системы вычетов оказалось, что ax 1 +b
є
ax 2 +b(mod m)
.
Тогда, по свойствам сравнений из предыдущего пункта, получаем: ax 1 є
ax 2 (mod m)
x 1 є
x
2 (mod m)
– противоречие с тем, что x 1
и
x 2
различны и взяты из полной системы
вычетов. Поскольку все числа из данного класса эквивалентности
є
получаются из одного числа данного
класса прибавлением числа, кратного m
, то все числа из
данного класса имеют с модулем m
один и тот же наибольший
общий делитель. По некоторым соображениям, повышенный интерес
представляют те вычеты, которые имеют с модулем m
наибольший
общий делитель, равный единице, т.е. вычеты, которые взаимно просты
с модулем. Определение.
Приведенной системой вычетов по модулю
m
называется совокупность всех вычетов из полной системы,
взаимно простых с модулем m
. Приведенную систему обычно выбирают из наименьших
неотрицательных вычетов. Ясно, что приведенная система вычетов по
модулю m
содержит j
(m
)
штук вычетов, где j
(m
)–
функция Эйлера – число чисел, меньших m
и взаимно простых с
m
. Если к этому моменту вы уже забыли функцию Эйлера,
загляните в пункт 14 и убедитесь, что про нее там кое-что
говорилось. Пример.
Пусть m
= 42. Тогда приведенная система
вычетов суть: 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Лемма 2.
1) Любые j
(m
) чисел, попарно не сравнимые по модулю m
и взаимно простые
с модулем, образуют приведенную систему вычетов по модулю m
. 2) Если (a,m) = 1
и x
пробегает приведенную
систему вычетов по модулю m
, то аx
так же пробегает
приведенную систему вычетов по модулю m
. Доказательство.
Утверждение 1) – очевидно. Докажем
утверждение 2). Числа аx
попарно несравнимы (это
доказывается так же, как в лемме 1 этого пункта), их ровно
j
(m
) штук. Ясно также, что все
они взаимно просты с модулем, ибо (a,m)=1, (x,m)=1 Ю
(ax.m)=1
. Значит, числа аx
образуют
приведенную систему вычетов. Таковы определения и основные свойства полной и приведенной
систем вычетов, однако в багаже математических знаний существует
еще целый ряд очень интересных и полезных фактов, касающихся систем
вычетов. Если умолчать про них в этом пункте, то это, боюсь, будет
прямым нарушением Закона Российской Федерации об Информации,
злонамеренное утаивание которой является, согласно этому закону,
административно и, даже, уголовно наказуемым деянием. Кроме того,
без знакомства с дальнейшими важными свойствами систем вычетов
пункт 17 получится весьма куцым. Продолжим. Лемма 3.
Пусть m 1 , m 2 , ...,
m k
– попарно взаимно просты и m 1 m
2 ...m k =M 1 m 1 =M
2 m 2 =...=M k m k
, где 1) Если x 1 , x 2 , ..., x
k
пробегают полные системы вычетов по модулям m
1 , m 2 , ..., m k
соответственно, то значения линейной формы M 1 x
1 +M 2 x 2 + ...+M k x
k
пробегают полную систему вычетов по модулю m=m
1 m 2 ...m k
. 2) Если x
1 ,
x
2 , ..., x
k
пробегают приведенные системы
вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m
k
соответственно, то значения линейной формы M
1 x
1 +M
2 x
2 + ...+M
k x
k
пробегают приведенную систему вычетов по модулю m=m 1
m 2 ...m k
. Доказательство.
1) Форма M 1 x 1 +M 2 x
2 + ...+M k x k
принимает,
очевидно, m 1 m 2 ...m k =m
значений. Покажем, что эти значения попарно несравнимы. Ну
пусть M 1 x 1 +M 2
x 2 + ...+M k x k
є
M 1 x 1
С
+M 2 x
2 С
+ ...+M
k x k С
(mod m)
Всякое M j
, отличное от M s
, кратно m s
. Убирая слева и справа в последнем
сравнении слагаемые, кратные m s
, получим: M s x s
є
M s x s
С
(mod m s) Ю
x s
є
x s С
(mod m s)
– противоречие с тем, что x s
пробегает полную
систему вычетов по модулю m s
. 2). Форма M 1 x
1 +M 2 x
2 + ...+M k x
k
принимает, очевидно, j
(m 1
) j
(m
2
) Ч
... Ч
j
(m
k
) = j
(m
1 m 2 Ч
...
Ч
m k
)= j
(m
) (функция Эйлера мультипликативна!)
различных значений, которые между собой по модулю m=m
1 m 2 ...m k
попарно
несравнимы. Последнее легко доказывается рассуждениями,
аналогичными рассуждениям, проведенным при доказательстве
утверждения 1) этой леммы. Так как (M 1 x
1 +M 2 x
2 + ...+M k x
k ,m s)=(M s
x
s ,m s)=1
для каждого 1 Ј
s Ј
k
, то (M 1 x
1 +M 2 x
2 + ...+M k x
k ,m s)=1
,
следовательно множество значений формы M 1
x
1 +M 2
x
2 + ...+M k
x
k
образует приведенную
систему вычетов по модулю m
. Лемма 4.
Пусть x 1 , x 2 , ...,
x k ,x
пробегают полные, а x
1 , x
2 ,..., x
k ,
x
– пробегают приведенные системы
вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m
k
и m=m 1 m 2 ...m
k
соответственно, где (m i m
j)=1
при i №
j
.
Тогда дроби {x 1 /m 1 +x 2 /m
2 +...+x k /m k }
совпадают с
дробями {x/m}
, а дроби { x
1 /m 1 + x
2 /m 2 +...+ x
k /m k }
совпадают с дробями {
x
/m}
. Доказательство.
Доказательство обоих утверждений леммы 4
легко получается применением предыдущей леммы 3 после того, как вы
приведете каждую сумму {x 1 /m 1 +x
2 /m 2 +...+x k /m k
}
и { x
1 /m
1 + x
2 /m
2 +...+ x
k /m
k }
к общему знаменателю: {x 1 /m 1 +x
2 /m 2 +...+x k /m k
}={(M 1 x 1 +M 2 x 2
+...+M k x k)/m}
; { x
1 /m
1 + x
2 /m
2 +...+ x
k /m
k }={(M 1 x
1 +M 2 x
2 +...+M k x
k)/m}
, где M j =m 1 ...m j-1 m
j+1 ...m k
. Если теперь принять во внимание, что дробные части чисел,
получающихся при делении на модуль m
любых двух чисел,
сравнимых по модулю m
, одинаковы (они равны r/m
,
где r
– наименьший неотрицательный вычет из данного класса),
то утверждения настоящей леммы становятся очевидными. В оставшейся части этого пункта произойдет самое интересное – мы
будем суммировать комплексные корни m
-ой степени из
единицы, при этом нам откроются поразительные связи между суммами
корней, системами вычетов и уже знакомой мультипликативной функцией
Мебиуса m
(m
) . Обозначим через e
k
k
-ый корень m-
ой степени из единицы: Эти формы записи комплексных чисел мы хорошо помним с первого
курса. Здесь k=0,1,...,m-1
– пробегает полную систему
вычетов по модулю m
. Напомню, что сумма e
0
+ e
1 +...+ e
m-1
всех корней m
-ой
степени из единицы равна нулю для любого m
. Действительно,
пусть e
0 + e
1 +...+ e
m-1 =a
. Умножим эту сумму на ненулевое число
e
1 . Такое умножение
геометрически в комплексной плоскости означает поворот правильного
m
-угольника, в вершинах которого расположены корни
e
0 , e
1 ,..., e
m-1
, на ненулевой угол 2 p
/m
. Ясно, что при этом корень e
0
перейдет в корень e
1
, корень e
1
перейдет в корень e
2
, и т.д., а корень
e
m-1
перейдет в
корень e
0
, т.е.
сумма e
0 + e
1 +...+ e
m-1
не изменится. Имеем e
1 a=a
, откуда a=0
. Теорема 1.
Пусть m>0
- целое число, a
О
Z
, x
пробегает
полную систему вычетов по модулю m
. Тогда, если а
кратно m
, то в противном случае, при а
не кратном m
, Доказательство.
При а
кратном m
имеем:
a=md
и При а
не делящемся на m
, разделим числитель и
знаменатель дроби a/m
на d
– наибольший общий
делитель а
и m
, получим несократимую дробь a
1 /m 1
. Тогда, по лемме 1, a
1 x
будет пробегать полную систему вычетов по модулю
m
. Имеем: ибо сумма всех корней степени m 1
из единицы
равна нулю. Напомню, что корень e
k
m
-ой степени из единицы называется
первообразным, если его индекс k
взаимно прост с m
.
В этом случае, как доказывалось на первом курсе, последовательные
степени e
k 1 ,
e
k 2 ,...,
e
k m-1
корня
e
k
образуют всю
совокупность корней m
-ой степени из единицы или, другими
словами, e
k
является
порождающим элементом циклической группы всех корней m
-ой
степени из единицы. Очевидно, что число различных первообразных корней m
-ой
степени из единицы равно j
(m
),
где j
– функция Эйлера, так как индексы
у первообразных корней образуют приведенную систему вычетов по
модулю m
. Теорема 2.
Пусть m>0
– целое число, x
пробегает приведенную систему вычетов по модулю
m
. Тогда (сумма первообразных корней степени m
): где m
(m
) – функция
Мебиуса. Доказательство.
Пусть m=p 1
a
1 p 2
a
2 ...p
k a
k
– каноническое разложение числа m
;
m 1 =p 1 a
1
, m 2 =p 2
a
2
, m
3 =p 3 a
3
; x
i
пробегает приведенную систему вычетов по модулю m
i
. Имеем: При a
s =1
получается, что только корень e
0 =1
не является первообразным, поэтому сумма всех
первообразных корней есть сумма всех корней минус единица: стало быть, если m
свободно от квадратов (т.е. не делится
на r 2
, при r >1
), то Если же какой-нибудь показатель a
s
больше единицы (т.е. m
делится на r
2
, при r>1
), то сумма всех первообразных
корней степени m s
есть сумма всех корней степени
m s
минус сумма всех не первообразных корней,
т.е. всех корней некоторой степени, меньшей m s
.
Именно, если m s =p s m s
*
, то: Вот теперь, дорогие читатели, когда я представил на ваше
рассмотрение довольно весьма значительное количество сведений про
полные и приведенные системы вычетов, никто не сможет обвинить меня
в злонамеренном нарушении Закона Российской Федерации об Информации
посредством ее утаивания, поэтому я заканчиваю этот пункт с
удовлетворением. 1
. Выпишите на листочке все наименьшие неотрицательные
вычеты и все абсолютно наименьшие вычеты а) по модулю 6 , б) по модулю 8 . Чуть ниже выпишите приведенные системы вычетов по этим модулям.
Нарисуйте отдельно на комплексной плоскости корни шестой и корни
восьмой степени из единицы, на обоих рисунках обведите кружочком
первообразные корни и найдите в каждом случае их сумму. 2
. Пусть e
–
первообразный корень степени 2n
из единицы. Найдите сумму: 1+ e
+ e
2 +...+ e
n-1
. 3
. Найдите сумму всех первообразных корней: а) 15-й; б)
24-й; в) 30-й степени из единицы. 4
. Найдите сумму всевозможных произведений первообразных
корней n
-ой степени из единицы, взятых по два. 5
. Найдите сумму k
-х степеней всех корней
n
-ой степени из единицы. 6
. Пусть m>1
, (a, m)=1
, b
–
целое число, х
пробегает полную, а x
– приведенную систему вычетов по модулю m
. Докажите, что: а) б) 7
. Докажите, что: где р
пробегает все простые делители числа а
.Вычеты. Полная и приведенная системы вычетов
Теоремы Эйлера и Ферма
Простейший случай
Общий случай
Пример
Структура группы
Структура группы
(Z/
n
Z)
×
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
×
φ
λ
Генератор группы
1
C
1
1
1
0
33
C
2
×C
10
20
10
2, 10
65
C
4
×C
12
48
12
2, 12
97
C
96
96
96
5
2
C
1
1
1
1
34
C
16
16
16
3
66
C
2
×C
10
20
10
5, 7
98
C
42
42
42
3
3
C
2
2
2
2
35
C
2
×C
12
24
12
2, 6
67
C
66
66
66
2
99
C
2
×C
30
60
30
2, 5
4
C
2
2
2
3
36
C
2
×C
6
12
6
5, 19
68
C
2
×C
16
32
16
3, 67
100
C
2
×C
20
40
20
3, 99
5
C
4
4
4
2
37
C
36
36
36
2
69
C
2
×C
22
44
22
2, 68
101
C
100
100
100
2
6
C
2
2
2
5
38
C
18
18
18
3
70
C
2
×C
12
24
12
3, 69
102
C
2
×C
16
32
16
5, 101
7
C
6
6
6
3
39
C
2
×C
12
24
12
2, 38
71
C
70
70
70
7
103
C
102
102
102
5
8
C
2
×C
2
4
2
3, 5
40
C
2
×C
2
×C
4
16
4
3, 11, 39
72
C
2
×C
2
×C
6
24
6
5, 17, 19
104
C
2
×C
2
×C
12
48
12
3, 5, 103
9
C
6
6
6
2
41
C
40
40
40
6
73
C
72
72
72
5
105
C
2
×C
2
×C
12
48
12
2, 29, 41
10
C
4
4
4
3
42
C
2
×C
6
12
6
5, 13
74
C
36
36
36
5
106
C
52
52
52
3
11
C
10
10
10
2
43
C
42
42
42
3
75
C
2
×C
20
40
20
2, 74
107
C
106
106
106
2
12
C
2
×C
2
4
2
5, 7
44
C
2
×C
10
20
10
3, 43
76
C
2
×C
18
36
18
3, 37
108
C
2
×C
18
36
18
5, 107
13
C
12
12
12
2
45
C
2
×C
12
24
12
2, 44
77
C
2
×C
30
60
30
2, 76
109
C
108
108
108
6
14
C
6
6
6
3
46
C
22
22
22
5
78
C
2
×C
12
24
12
5, 7
110
C
2
×C
20
40
20
3, 109
15
C
2
×C
4
8
4
2, 14
47
C
46
46
46
5
79
C
78
78
78
3
111
C
2
×C
36
72
36
2, 110
16
C
2
×C
4
8
4
3, 15
48
C
2
×C
2
×C
4
16
4
5, 7, 47
80
C
2
×C
4
×C
4
32
4
3, 7, 79
112
C
2
×C
2
×C
12
48
12
3, 5, 111
17
C
16
16
16
3
49
C
42
42
42
3
81
C
54
54
54
2
113
C
112
112
112
3
18
C
6
6
6
5
50
C
20
20
20
3
82
C
40
40
40
7
114
C
2
×C
18
36
18
5, 37
19
C
18
18
18
2
51
C
2
×C
16
32
16
5, 50
83
C
82
82
82
2
115
C
2
×C
44
88
44
2, 114
20
C
2
×C
4
8
4
3, 19
52
C
2
×C
12
24
12
7, 51
84
C
2
×C
2
×C
6
24
6
5, 11, 13
116
C
2
×C
28
56
28
3, 115
21
C
2
×C
6
12
6
2, 20
53
C
52
52
52
2
85
C
4
×C
16
64
16
2, 3
117
C
6
×C
12
72
12
2, 17
22
C
10
10
10
7
54
C
18
18
18
5
86
C
42
42
42
3
118
C
58
58
58
11
23
C
22
22
22
5
55
C
2
×C
20
40
20
2, 21
87
C
2
×C
28
56
28
2, 86
119
C
2
×C
48
96
48
3, 118
24
C
2
×C
2
×C
2
8
2
5, 7, 13
56
C
2
×C
2
×C
6
24
6
3, 13, 29
88
C
2
×C
2
×C
10
40
10
3, 5, 7
120
C
2
×C
2
×C
2
×C
4
32
4
7, 11, 19, 29
25
C
20
20
20
2
57
C
2
×C
18
36
18
2, 20
89
C
88
88
88
3
121
C
110
110
110
2
26
C
12
12
12
7
58
C
28
28
28
3
90
C
2
×C
12
24
12
7, 11
122
C
60
60
60
7
27
C
18
18
18
2
59
C
58
58
58
2
91
C
6
×C
12
72
12
2, 3
123
C
2
×C
40
80
40
7, 83
28
C
2
×C
6
12
6
3, 13
60
C
2
×C
2
×C
4
16
4
7, 11, 19
92
C
2
×C
22
44
22
3, 91
124
C
2
×C
30
60
30
3, 61
29
C
28
28
28
2
61
C
60
60
60
2
93
C
2
×C
30
60
30
11, 61
125
C
100
100
100
2
30
C
2
×C
4
8
4
7, 11
62
C
30
30
30
3
94
C
46
46
46
5
126
C
6
×C
6
36
6
5, 13
31
C
30
30
30
3
63
C
6
×C
6
36
6
2, 5
95
C
2
×C
36
72
36
2, 94
127
C
126
126
126
3
32
C
2
×C
8
16
8
3, 31
64
C
2
×C
16
32
16
3, 63
96
C
2
×C
2
×C
8
32
8
5, 17, 31
128
C
2
×C
32
64
32
3, 127
Применение
Примечания
Литература
Гомотетия и подобие пространства
А 1 В 1
: АВ
= 1: 3 и А 1 В 1
АВ
,
А 1 С 1
: АС
= 1: 3 и А 1 С 1
АС
,
В 1 С 1
: ВС
= 1: 3 и В 1 С 1
ВС
,
В 1 Р 1
: ВР
= 1: 3 и В 1 Р 1
ВР
,
С 1 Р 1
: СР
= 1: 3 и С 1 Р 1
СР
.
Из этих соотношений между ребрами тетраэдров РАВС
и Р 1 А 1 В 1 С 1
следует, что тетраэдр Р 1 А 1 В 1 С 1
- правильный, поэтому эти тетраэдры подобны; коэффициент подобия равен 1/3. (В профильных классах стоит доказать, что эти тетраэдры гомотетичны.)
Можно ввести определение: «Фигура F 1
называется подобной фигуре F
, если существует преобразование подобия пространства, отображающее фигуру F
на фигуру F 1
». Тогда для доказательства подобия фигуры F 1
фигуре F
достаточно найти хотя бы одно преобразование подобия, которое фигуру F
отображает на фигуру F 1
.."Приведённая система вычетов" в книгах
Какова приведенная стоимость ключевой сферы компетенции?
Из книги
Невесомое богатство. Определите стоимость вашей компании в экономике нематериальных активов
автора
Тиссен Рене
Чистая приведенная стоимость (NPV)
Из книги
МВА за 10 дней. Самое важное из программ ведущих бизнес-школ мира
автора
Силбигер Стивен
УЧЕТ УДЕРЖАНИЙ И ВЫЧЕТОВ ИЗ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ
Из книги
Бухгалтерский учет
автора
Мельников Илья
10.6. Учет удержаний и вычетов из заработной платы
Из книги
Бухгалтерский учет в сельском хозяйстве
автора
Бычкова Светлана Михайловна
4.1. Общие вопросы предоставления социальных налоговых вычетов
автора
Макурова Татьяна
4.3. Особенности предоставления образовательных вычетов
Из книги
Самоучитель по налогам на доходы физлиц
автора
Макурова Татьяна
3.4. Количественная оценка и периодичность возникновения и применения налоговых вычетов
Из книги
Налоговая нагрузка предприятия: анализ, расчет, управление
автора
Чипуренко Елена Викторовна
Полная система вычетов
Из книги
Большая Советская Энциклопедия (ПО)
автора
БСЭ
Приведённая масса
БСЭ
Приведённая система вычетов
Из книги
Большая Советская Энциклопедия (ПР)
автора
БСЭ
88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели
Из книги
Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике
автора
Яковлева Ангелина Витальевна
Пункт 17. Полная и приведенная системы
вычетов.
.
Задачки
,